โมดูล 5/5 · สัปดาห์ 13–15 · 27 ชม.

แคลคูลัสเบื้องต้นกับการเคลื่อนที่

UAT 101 คณิตศาสตร์ประยุกต์สำหรับเทคโนโลยี

เวลาเรียนประมาณ 90 นาทีร่าง รอตรวจปรับปรุงล่าสุด 26 กันยายน 2569

เมื่อเรียนจบโมดูลนี้ ผู้เรียนจะสามารถ

อธิบายอนุพันธ์ในฐานะอัตราการเปลี่ยนแปลงและความชันของเส้นสัมผัส
หาอนุพันธ์ของพหุนามด้วยกฎยกกำลัง และหาจุดสูงสุดหรือต่ำสุด
ประมาณความเร็วจากข้อมูลตำแหน่งใน flight log ด้วยผลต่างสืบเนื่อง
อธิบายปริพันธ์ในฐานะพื้นที่ใต้กราฟ และประมาณด้วยกฎสี่เหลี่ยมคางหมู
คำนวณประจุไฟฟ้าที่ใช้และอธิบายความคลาดเคลื่อนสะสมจากการอินทิเกรตข้อมูล IMU

ความรู้พื้นฐานที่ควรมี: UAT 101 โมดูล 1 (ฟังก์ชันและกราฟ)

คณิตศาสตร์ของสิ่งที่เปลี่ยนแปลง

ตัวเลขทุกตัวใน flight log เปลี่ยนตลอดเวลา ความสูงเพิ่มขึ้น แบตเตอรี่ลดลง ความเร็วแกว่งตามลม คำถามสำคัญจึงไม่ใช่แค่ “ตอนนี้มีค่าเท่าไร” แต่เป็น “กำลังเปลี่ยนเร็วแค่ไหน” และ “สะสมไปแล้วเท่าไร”

แคลคูลัส ตอบสองคำถามนี้ด้วยเครื่องมือสองชิ้น อนุพันธ์ บอกอัตราการเปลี่ยนแปลง ณ ขณะหนึ่ง ส่วน ปริพันธ์ บอกผลสะสมตลอดช่วงเวลา สองเรื่องนี้เป็นกลับด้านของกันและกัน โมดูลนี้เน้นความเข้าใจและการคำนวณกับข้อมูลจริง มากกว่าการพิสูจน์ทฤษฎี

อัตราการเปลี่ยนแปลงและอนุพันธ์

ความเร็วเฉลี่ย

ถ้าโดรนอยู่ที่ตำแหน่ง $x_{1}$ ณ เวลา $t_{1}$ และ $x_{2}$ ณ เวลา $t_{2}$ ความเร็วเฉลี่ยคือ

\overset{v}{ˉ} = \frac{Δ x}{Δ t} = \frac{x _{2} - x _{1}}{t _{2} - t _{1}}

บนกราฟตำแหน่ง-เวลา ค่านี้คือความชันของเส้นตรงที่ลากผ่านสองจุด

ความเร็วขณะหนึ่ง

ถ้าเราทำช่วงเวลา $Δ t$ ให้สั้นลงเรื่อย ๆ จนเกือบเป็นศูนย์ เส้นที่ลากผ่านสองจุดจะกลายเป็น เส้นสัมผัส ที่แตะกราฟเพียงจุดเดียว ความชันของเส้นนี้คือ ความเร็วขณะหนึ่ง และเรียกว่า อนุพันธ์ ของตำแหน่งเทียบกับเวลา

v (t) = \frac{d x}{d t} = Δ t \to 0 lim \frac{x ( t + Δ t ) - x ( t )}{Δ t}

กราฟตำแหน่งกับเวลาเป็นเส้นโค้ง มีเส้นสัมผัสสีชมพูที่จุดหนึ่ง และสามเหลี่ยมเล็กแสดง delta t กับ delta x — ภาพที่ 1 ความชันของเส้นสัมผัสบนกราฟตำแหน่งคือความเร็ว ณ ขณะนั้น

ในทำนองเดียวกัน อนุพันธ์ของความเร็วคือ ความเร่ง $a = d v / d t$

กฎยกกำลัง

ไม่จำเป็นต้องคำนวณลิมิตทุกครั้ง สำหรับพหุนามใช้กฎยกกำลัง

\frac{d}{d t} t^{n} = n t^{n - 1}

พร้อมกับกฎง่าย ๆ อีกสองข้อ คือ อนุพันธ์ของค่าคงที่เป็นศูนย์ และอนุพันธ์ของผลบวกเท่ากับผลบวกของอนุพันธ์

ตัวอย่างที่ 1 ตำแหน่ง ความเร็ว ความเร่ง

โดรนเร่งออกตัวตามแนวราบ ตำแหน่งเป็น $x (t) = 5 t^{2}$ เมตร

ความเร็ว $v (t) = \frac{d}{d t} (5 t^{2}) = 10 t$ ที่ $t = 2$ s จะได้ $v = 20$ m/s
ความเร่ง $a (t) = \frac{d}{d t} (10 t) = 10$ m/s² คงที่ตลอด

หาจุดสูงสุดและต่ำสุด

ที่จุดสูงสุดหรือต่ำสุดของกราฟเรียบ เส้นสัมผัสจะอยู่แนวราบ อนุพันธ์จึงเท่ากับศูนย์ เราใช้ข้อนี้หาค่าสูงสุดได้

ตัวอย่างที่ 2 ความสูงสูงสุด

ถ้าความสูงของวัตถุที่ถูกยิงขึ้นเป็น $h (t) = 12 t - 1.5 t^{2}$ เมตร

$\frac{d h}{d t} = 12 - 3 t = 0 \Rightarrow t = 4$ s
ความสูงสูงสุด $h (4) = 12 (4) - 1.5 (16) = 48 - 24 = 24$ m

อนุพันธ์จากข้อมูลจริง

ข้อมูลใน flight log เป็นจุด ๆ ตามเวลา ไม่ได้มาเป็นสูตร เราจึงประมาณอนุพันธ์ด้วย ผลต่างสืบเนื่อง (finite difference)

v_{k} \approx \frac{x _{k + 1} - x _{k}}{Δ t}

ตัวอย่างที่ 3 ความเร็วไต่ระดับจาก log

log บันทึกความสูงทุก 0.5 s ได้ 10.0, 11.2, 12.5, 13.6 m

ช่วงแรก $(11.2 - 10.0) /0.5 = 2.4$ m/s
ช่วงที่สอง $(12.5 - 11.2) /0.5 = 2.6$ m/s
ช่วงที่สาม $(13.6 - 12.5) /0.5 = 2.2$ m/s

อัตราไต่ระดับเฉลี่ยประมาณ 2.4 m/s

ระวัง

การหาอนุพันธ์ขยายสัญญาณรบกวน ถ้าค่าความสูงมีความคลาดเคลื่อนสุ่ม ±0.1 m และ $Δ t = 0.01$ s ความเร็วที่คำนวณได้อาจแกว่งถึง ±20 m/s ทั้งที่โดรนแทบไม่ได้เคลื่อนที่ ในทางปฏิบัติจึงต้องกรองสัญญาณก่อน หรือใช้ช่วงเวลาที่ยาวขึ้น

ปริพันธ์: การสะสม

ถ้ารู้ความเร็วตลอดช่วงเวลาและต้องการหาระยะทางรวม เราต้องทำกลับกับอนุพันธ์ คือ สะสม ความเร็วคูณเวลาทีละช่วงเล็ก ๆ ผลรวมนี้เท่ากับ พื้นที่ใต้กราฟ ความเร็ว-เวลา และเขียนเป็นปริพันธ์

d = \int_{t_{1}}^{t_{2}} v (t) d t

กราฟความเร็วกับเวลา พื้นที่ใต้กราฟถูกแบ่งเป็นแถบสี่เหลี่ยมคางหมูหลายแถบ — ภาพที่ 2 พื้นที่ใต้กราฟความเร็ว ประมาณด้วยแถบสี่เหลี่ยมคางหมู

กฎสี่เหลี่ยมคางหมู

กับข้อมูลที่เป็นจุด เราประมาณพื้นที่ด้วยการแบ่งเป็นแถบสี่เหลี่ยมคางหมู แต่ละแถบมีพื้นที่เท่ากับค่าเฉลี่ยของสองขอบคูณความกว้าง

\int_{a}^{b} f d t \approx k \sum \frac{f _{k} + f _{k + 1}}{2} Δ t

ตัวอย่างที่ 4 ระยะทางจากความเร็ว

ความเร็วที่บันทึกทุก 1 s คือ 0, 2, 4, 4, 3 m/s

d \approx \frac{0 + 2}{2} + \frac{2 + 4}{2} + \frac{4 + 4}{2} + \frac{4 + 3}{2} = 1 + 3 + 4 + 3.5 = 11.5 m

ประจุไฟฟ้าที่ใช้ไป

ตัววัดกระแสบนโดรนคำนวณ “mAh ที่ใช้ไป” ด้วยปริพันธ์ของกระแส $Q = \int I d t$ แบบเดียวกัน

ตัวอย่างที่ 5 แบตเตอรี่เหลือเท่าไร

โดรนลอยตัวใช้กระแส 20 A นาน 6 นาที แล้วบินเร็วใช้ 30 A นาน 3 นาที

ช่วงแรก $20 A \times 0.1 h = 2.0$ Ah
ช่วงที่สอง $30 A \times 0.05 h = 1.5$ Ah
รวม 3.5 Ah หรือ 3500 mAh

ถ้าแบตเตอรี่มีความจุ 5000 mAh ตั้งเกณฑ์ใช้ไม่เกิน 80% คือ 4000 mAh จะเหลือให้ใช้อีกเพียง 500 mAh ถึงเวลาต้องบินกลับ

ทำไม IMU อย่างเดียวนำทางได้ไม่นาน

แอกเซเลอโรมิเตอร์วัดความเร่ง ถ้าอินทิเกรตหนึ่งครั้งได้ความเร็ว อินทิเกรตอีกครั้งได้ตำแหน่ง ฟังดูเหมือนนำทางได้โดยไม่ต้องใช้ GNSS แต่เซนเซอร์จริงมีค่าเพี้ยนคงที่เล็กน้อย เรียกว่า bias ( $b$ ) เมื่ออินทิเกรตสองครั้ง ความคลาดเคลื่อนของตำแหน่งจะโตตามกำลังสองของเวลา

e (t) = \frac{1}{2} b t^{2}

ตัวอย่างที่ 6 bias เพียงเล็กน้อย

bias $b = 0.05$ m/s² ดูเล็กมาก แต่ผ่านไป 60 วินาที ความคลาดเคลื่อนตำแหน่งจะเป็น $\frac{1}{2} (0.05) (6 0^{2}) = 90$ m

นี่คือเหตุผลที่ออโตไพลอตต้องรวมข้อมูล IMU กับ GNSS บารอมิเตอร์ หรือกล้อง ด้วยตัวกรองคาลมาน (EKF) ซึ่งจะเรียนในวิชา UAT 305

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ระวัง

สับสนความเร็วเฉลี่ยกับความเร็วขณะหนึ่ง
ลืมหน่วยเวลา กระแสเป็น A และเวลาเป็นนาที ต้องแปลงเป็นชั่วโมงก่อนได้ Ah
หาอนุพันธ์จากข้อมูลที่มีสัญญาณรบกวนโดยไม่กรอง
คิดว่าความคลาดเคลื่อนจากการอินทิเกรตโตแบบเส้นตรง ความจริงโตตามกำลังสองของเวลา

สรุป

อนุพันธ์คืออัตราการเปลี่ยนแปลง ณ ขณะหนึ่ง เท่ากับความชันของเส้นสัมผัส
ความเร็วคืออนุพันธ์ของตำแหน่ง และความเร่งคืออนุพันธ์ของความเร็ว กฎยกกำลังคือ $d (t^{n}) / d t = n t^{n - 1}$
จุดสูงสุดหรือต่ำสุดเกิดที่อนุพันธ์เป็นศูนย์
ปริพันธ์คือผลสะสมหรือพื้นที่ใต้กราฟ ข้อมูลจริงประมาณด้วยกฎสี่เหลี่ยมคางหมู
ประจุที่ใช้ไปคือปริพันธ์ของกระแส ส่วน bias ของ IMU ทำให้ตำแหน่งคลาดเคลื่อนตาม $\frac{1}{2} b t^{2}$

แบบฝึกตรวจความเข้าใจ

หาอนุพันธ์ของ $x (t) = 3 t^{3} - 4 t + 7$
โดรนอยู่ที่ 20 m ตอน $t = 2$ s และ 35 m ตอน $t = 5$ s ความเร็วเฉลี่ยเท่าใด
หาเวลาที่ $h (t) = 8 t - 2 t^{2}$ มีค่าสูงสุด และค่าสูงสุดนั้น
กระแสที่บันทึกทุก 60 s คือ 18, 22, 20 A ประมาณประจุที่ใช้ไปในหน่วย mAh ด้วยกฎสี่เหลี่ยมคางหมู
IMU มี bias 0.02 m/s² ผ่านไป 30 s ความคลาดเคลื่อนตำแหน่งเท่าใด

เฉลย

$x^{'} (t) = 9 t^{2} - 4$
$(35 - 20) / (5 - 2) = 5$ m/s
$h^{'} (t) = 8 - 4 t = 0 \Rightarrow t = 2$ s และ $h (2) = 16 - 8 = 8$ m
$(\frac{18 + 22}{2} + \frac{22 + 20}{2}) \times 60 = 41 \times 60 = 2460$ A·s หารด้วย 3600 ได้ 0.683 Ah หรือประมาณ 683 mAh
$\frac{1}{2} (0.02) (3 0^{2}) = 9$ m

สรุปสูตรสำคัญ

ความเร็วเฉลี่ย	$v ˉ = \frac{Δ x}{Δ t}$
อนุพันธ์	$v (t) = \frac{d x}{d t} = lim_{Δ t \to 0} \frac{x ( t + Δ t ) - x ( t )}{Δ t}$
กฎยกกำลัง	$\frac{d}{d t} t^{n} = n t^{n - 1}$
ผลต่างสืบเนื่อง	$v_{k} \approx \frac{x _{k + 1} - x _{k}}{Δ t}$
กฎสี่เหลี่ยมคางหมู	$\int_{a}^{b} f d t \approx \sum_{k} \frac{f _{k} + f _{k + 1}}{2} Δ t$
ประจุที่ใช้	$Q = \int I d t$
ความคลาดเคลื่อนจาก bias	$e (t) = \frac{1}{2} b t^{2}$

แหล่งอ้างอิงหลัก

Strang, G., & Herman, E. (2016). Calculus volume 1. OpenStax. link
Stroud, K. A., & Booth, D. J. (2020). Engineering mathematics (8th ed.). Bloomsbury.
Groves, P. D. (2013). Principles of GNSS, inertial, and multisensor integrated navigation systems (2nd ed.). Artech House. link

อ่านเพิ่มเติม

ศึกษาหน่วยความรู้ที่กำหนดล่วงหน้า ดูสื่อประกอบ และทำ quiz ประจำโมดูล

อยู่ระหว่างพัฒนาD01

อนุพันธ์ อัตราการเปลี่ยนแปลง และการอินทิเกรตเชิงตัวเลข

อนุพันธ์ของตำแหน่ง ความเร็ว ความเร่ง การอินทิเกรตเชิงตัวเลขสำหรับข้อมูลเซนเซอร์

พร้อมใช้D12D06

แบบฝึกวัดความคลาดเคลื่อนของ trajectory

เปรียบเทียบค่าคลาดเคลื่อนที่สร้างขึ้นเองและอธิบายข้อจำกัดของตัวชี้วัด

ในชั้นเรียน / ภาคสนาม

บรรยาย อภิปรายกรณีศึกษา และแก้โจทย์ในชั้นเรียน

หลักฐานการเรียนรู้: ผล quiz และแบบฝึกหัดที่ส่ง

แบบทดสอบประจำโมดูล

แบบทดสอบนี้ใช้ตรวจความเข้าใจ (formative) ไม่ใช่การสอบเก็บคะแนน

โดเมนความรู้: คณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ และสถิติ · ระบบอัตโนมัติ หุ่นยนต์ และฝูงโดรน · การควบคุม ออโตไพลอต และการนำทาง