ความน่าจะเป็นและการแจกแจง

ทำไมต้องรู้

“ภารกิจสำเร็จ 95%” ฟังดูดี แต่ถ้าหน่วยงานบิน 20 เที่ยวต่อสัปดาห์ จะมีโอกาสสูงมากที่สัปดาห์หนึ่งมีเที่ยวที่ล้มเหลว ความน่าจะเป็นช่วยแปลงตัวเลขความเสี่ยงให้ตรงกับการใช้งานจริง และการแจกแจงของข้อมูลช่วยตอบคำถาม เช่น “มีโอกาสเท่าใดที่แบตเตอรี่ก้อนนี้บินได้ไม่ถึง 20 นาที” ซึ่งเป็นพื้นฐานของการทดสอบในโมดูล 3

กฎพื้นฐานของความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็น (probability) เป็นตัวเลขระหว่าง 0 ถึง 1 บอกว่าเหตุการณ์หนึ่งมีโอกาสเกิดมากเพียงใด

• ส่วนเติมเต็ม $P(\text{ไม่เกิด }A)=1-P(A)$
• เหตุการณ์อิสระ (independent) ผลของเหตุการณ์หนึ่งไม่เปลี่ยนโอกาสของอีกเหตุการณ์ จึงคูณกันได้ $P(A\cap B)=P(A)P(B)$
• ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข $P(A\mid B)$ คือโอกาสเกิด $A$ เมื่อรู้แล้วว่า $B$ เกิด

ความน่าจะเป็นที่ทั้งสองเที่ยวสำเร็จคือ $0.95\times 0.95=0.9025$ ปลายกิ่งทั้งสี่รวมกันได้ 1 เสมอ แต่การคูณแบบนี้ใช้ได้เฉพาะเมื่อเที่ยวบินเป็นอิสระกันจริง ถ้าล้มเหลวเพราะสาเหตุร่วม เช่น ลมแรงทั้งวันหรือซอฟต์แวร์รุ่นเดียวกันมีข้อบกพร่อง เที่ยวบินจะไม่อิสระกัน

การแจกแจงทวินาม

ถ้าทำการทดลองซ้ำ $n$ ครั้ง แต่ละครั้งสำเร็จหรือล้มเหลวด้วยโอกาสคงที่ และแต่ละครั้งเป็นอิสระกัน จำนวนครั้งที่ล้มเหลว $X$ มี การแจกแจงทวินาม (binomial distribution)

from scipy import stats

n, p_fail = 20, 0.05
print(f"P(at least one failure in {n} flights) = {1 - 0.95 ** n:.4f}")
failures = stats.binom(n, p_fail)
for k in range(4):
    print(f"P(X = {k}) = {failures.pmf(k):.4f}")
print(f"P(X >= 2) = {failures.sf(1):.4f}   expected failures = {failures.mean():.1f}")

P(at least one failure in 20 flights) = 0.6415
P(X = 0) = 0.3585
P(X = 1) = 0.3774
P(X = 2) = 0.1887
P(X = 3) = 0.0596
P(X >= 2) = 0.2642   expected failures = 1.0

แม้แต่ละเที่ยวสำเร็จ 95% แต่ใน 20 เที่ยวมีโอกาส 64% ที่จะล้มเหลวอย่างน้อยหนึ่งครั้ง และโดยเฉลี่ยคาดว่าล้มเหลว 1 ครั้ง ข้อมูลนี้ช่วยวางแผนอะไหล่และขั้นตอนรับมือเหตุฉุกเฉิน

p_fault = 0.02
p_alarm_if_fault = 0.90
p_alarm_if_ok = 0.05
p_alarm = p_alarm_if_fault * p_fault + p_alarm_if_ok * (1 - p_fault)
p_fault_if_alarm = p_alarm_if_fault * p_fault / p_alarm
print(f"P(alarm) = {p_alarm:.4f}   P(fault | alarm) = {p_fault_if_alarm:.3f}")

P(alarm) = 0.0670   P(fault | alarm) = 0.269

การแจกแจงปกติ

ข้อมูลที่เกิดจากผลรวมของปัจจัยเล็ก ๆ หลายอย่าง เช่น เวลาบินที่ได้รับผลจากลม อุณหภูมิ และสภาพแบตเตอรี่ มักมีรูปร่างใกล้ การแจกแจงปกติ (normal distribution) ที่เป็นรูประฆังสมมาตร กำหนดด้วยค่าเฉลี่ย $\mu$ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน $\sigma$

z-score $z=(x-\mu )/\sigma$ บอกว่าค่าหนึ่งห่างจากค่าเฉลี่ยกี่ $\sigma$ สำหรับการแจกแจงปกติ มีข้อมูลประมาณ 68.27% อยู่ภายใน $\pm 1\sigma$, 95.45% ภายใน $\pm 2\sigma$ และ 99.73% ภายใน $\pm 3\sigma$ เรียกว่า กฎ 68–95–99.7

for k in (1, 2, 3):
    print(f"within ±{k} sigma: {stats.norm.cdf(k) - stats.norm.cdf(-k):.4%}")

mu, sigma = 23.0, 1.5
print(f"z of 20 min = {(20 - mu) / sigma:.1f}   P(endurance < 20 min) = {stats.norm.cdf(20, mu, sigma):.4f}")
print(f"99% of flights last at least {stats.norm.ppf(0.01, mu, sigma):.2f} min")

within ±1 sigma: 68.2689%
within ±2 sigma: 95.4500%
within ±3 sigma: 99.7300%
z of 20 min = -2.0   P(endurance < 20 min) = 0.0228
99% of flights last at least 19.51 min

ถ้าเวลาบินของแบตเตอรี่รุ่นหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 23 นาที SD 1.5 นาที เกณฑ์ 20 นาทีอยู่ต่ำกว่าค่าเฉลี่ย 2 SD โอกาสที่เที่ยวหนึ่งบินได้ไม่ถึงเกณฑ์จึงประมาณ 2.3% norm.cdf ให้พื้นที่ทางซ้ายของค่าหนึ่ง ส่วน norm.ppf ทำกลับกัน คือหาค่าจากพื้นที่ที่กำหนด

การจำลองมอนติคาร์โลและทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง

เมื่อคำนวณด้วยสูตรยาก เราจำลองสถานการณ์ด้วยตัวเลขสุ่มจำนวนมากแล้วนับผล เรียกว่า การจำลองมอนติคาร์โล (Monte Carlo simulation) กำหนด seed ให้ตัวสร้างเลขสุ่มเสมอเพื่อให้ผลซ้ำได้

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(116)
flights = rng.normal(mu, sigma, size=100_000)
print(f"simulated P(< 20 min) = {np.mean(flights < 20):.4f}   exact = {stats.norm.cdf(20, mu, sigma):.4f}")

pairs = rng.normal(mu, sigma, size=(100_000, 2))
both_ok = np.mean((pairs >= 20).all(axis=1))
print(f"two batteries both reach 20 min: simulated {both_ok:.4f}   exact {(1 - stats.norm.cdf(20, mu, sigma)) ** 2:.4f}")

simulated P(< 20 min) = 0.0234   exact = 0.0228
two batteries both reach 20 min: simulated 0.9550   exact 0.9550

ผลจำลองใกล้ค่าที่คำนวณจากสูตร และจะใกล้ขึ้นเมื่อจำลองมากขึ้น วิธีนี้ใช้ได้กับปัญหาที่ซับซ้อนกว่านี้มาก เช่น ภารกิจหลายขั้นที่แต่ละขั้นมีการแจกแจงต่างกัน

ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง (central limit theorem) บอกว่าเมื่อเฉลี่ยค่าจากตัวอย่างอิสระจำนวนมากพอ ค่าเฉลี่ย จะมีการแจกแจงใกล้ปกติแม้ข้อมูลเดิมจะไม่ปกติ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าเฉลี่ยลดลงเป็น $\sigma /\sqrt{n}$

import pandas as pd

lat = pd.read_csv("latency.csv")["latency_ms"].to_numpy()
means = rng.choice(lat, size=(20_000, 25)).mean(axis=1)
print(f"data: sd {lat.std(ddof=1):.2f} ms, skew {stats.skew(lat):.2f}")
print(f"means of 25 frames: sd {means.std(ddof=1):.2f} ms (sigma/sqrt(25) = {lat.std(ddof=1) / 5:.2f}), skew {stats.skew(means):.2f}")

data: sd 11.41 ms, skew 0.78
means of 25 frames: sd 2.30 ms (sigma/sqrt(25) = 2.28), skew 0.18

ข้อมูลเวลาประมวลผลเบ้ขวา (skew เป็นบวกชัด) แต่ค่าเฉลี่ยของทีละ 25 เฟรมเบ้น้อยลงมาก และกระจายน้อยลงประมาณห้าเท่าตาม $\sigma /\sqrt{25}$ นี่คือเหตุผลที่โมดูล 3 ใช้การแจกแจงของค่าเฉลี่ยสร้างช่วงความเชื่อมั่นได้

ปฏิบัติการประจำโมดูล

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

สรุป

• ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระคูณกันได้ ส่วนความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขต้องคำนวณด้วยทฤษฎีบทของเบย์
• การแจกแจงทวินามใช้นับจำนวนครั้งที่สำเร็จหรือล้มเหลวจากการทดลองซ้ำที่อิสระกัน
• การแจกแจงปกติกำหนดด้วย $\mu$ และ $\sigma$ ใช้ z-score และกฎ 68–95–99.7 ประเมินข้อมูลได้เมื่อข้อมูลใกล้ปกติ
• การจำลองมอนติคาร์โลต้องกำหนด seed และค่าเฉลี่ยของตัวอย่างใกล้ปกติขึ้นตามทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง

แบบฝึกตรวจความเข้าใจ

1. โดรนสามลำบินพร้อมกัน แต่ละลำมีโอกาสขัดข้อง 2% อย่างอิสระ โอกาสที่ไม่มีลำใดขัดข้องเป็นเท่าใด
2. บิน 10 เที่ยว แต่ละเที่ยวล้มเหลว 10% คาดว่าจะล้มเหลวเฉลี่ยกี่เที่ยว
3. เวลาบินเฉลี่ย 25 นาที SD 2 นาที เวลาบิน 21 นาทีมี z-score เท่าใด
4. ข้อมูลปกติ มีข้อมูลประมาณกี่เปอร์เซ็นต์อยู่นอก $\pm 2\sigma$
5. ข้อมูลมี $\sigma =6$ ms ค่าเฉลี่ยของตัวอย่างขนาด 36 มีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานประมาณเท่าใด