หลักการวัดและความไม่แน่นอน

ตัวอย่างที่ 1 สอบเทียบเซนเซอร์อุณหภูมิของแบตเตอรี่

แช่เซนเซอร์คู่กับเทอร์โมมิเตอร์อ้างอิง (ความไม่แน่นอนมาตรฐาน 0.10 °C) ที่หกอุณหภูมิ มัลติมิเตอร์อ่านแรงดันได้ความไม่แน่นอนมาตรฐาน 2 mV

import math
import statistics as st

T_REF = [0, 10, 20, 30, 40, 50]                   # °C จากเทอร์โมมิเตอร์อ้างอิง
V = [0.502, 0.598, 0.701, 0.797, 0.905, 1.001]     # V ที่เซนเซอร์ให้
FS = 50.0                                          # °C ช่วงเต็มสเกล
U_V, U_REF = 0.002, 0.10                           # V, °C ความไม่แน่นอนมาตรฐาน

two_point = ((V[-1] - V[0]) / (T_REF[-1] - T_REF[0]), V[0])
mt, mv = st.mean(T_REF), st.mean(V)
gain = sum((t - mt) * (v - mv) for t, v in zip(T_REF, V)) / sum((t - mt) ** 2 for t in T_REF)
least = (gain, mv - gain * mt)

for name, (a, b) in (("two-point", two_point), ("least squares", least)):
    res = [(v - b) / a - t for t, v in zip(T_REF, V)]
    print(f"{name:<14} {a * 1000:.3f} mV/°C, offset {b:.4f} V, residuals "
          + " ".join(f"{r:+.2f}" for r in res) + f" °C, worst {max(map(abs, res)) / FS:.2%} FS")

a, b = least
res = [(v - b) / a - t for t, v in zip(T_REF, V)]
u_fit = math.sqrt(sum(r * r for r in res) / (len(res) - 2))
c_v = 1 / a                                        # °C ต่อ V (สัมประสิทธิ์ความไว)
u_c = math.sqrt((c_v * U_V) ** 2 + U_REF ** 2 + u_fit ** 2)
print(f"c_V = {c_v:.1f} °C/V, u from voltage {c_v * U_V:.2f} °C, u_fit {u_fit:.2f} °C")
print(f"combined u_c = {u_c:.2f} °C, expanded U = {2 * u_c:.2f} °C (k = 2)")

two-point      9.980 mV/°C, offset 0.5020 V, residuals +0.00 -0.38 -0.06 -0.44 +0.38 +0.00 °C, worst 0.88% FS
least squares  10.034 mV/°C, offset 0.4998 V, residuals +0.22 -0.21 +0.05 -0.38 +0.38 -0.05 °C, worst 0.76% FS
c_V = 99.7 °C/V, u from voltage 0.20 °C, u_fit 0.31 °C
combined u_c = 0.38 °C, expanded U = 0.77 °C (k = 2)

เส้นกำลังสองน้อยที่สุดกระจายค่าคลาดให้ทุกจุด จึงมีค่าคลาดที่แย่ที่สุดต่ำกว่าวิธีสองจุด ความไม่แน่นอนรวมมาจากสามแหล่ง ได้แก่ มัลติมิเตอร์ที่ถูกขยายด้วย $c_V$ เทอร์โมมิเตอร์อ้างอิง และความไม่เป็นเชิงเส้นที่เส้นตรงอธิบายไม่ได้ แหล่งที่ใหญ่ที่สุดคือความไม่เป็นเชิงเส้น ถ้าต้องการผลดีขึ้น ต้องลดแหล่งนี้ก่อน เช่น ใช้สมการกำลังสองแทนเส้นตรง

ตัวอย่างที่ 2 ความละเอียด ADC และความถี่แฝง

import math

N, VREF = 12, 3.3
lsb = VREF / 2 ** N
print(f"LSB {lsb * 1000:.3f} mV, quantization noise {lsb / math.sqrt(12) * 1000:.3f} mV rms, "
      f"ideal SNR {6.02 * N + 1.76:.1f} dB")

def alias(f, fs):
    return abs(f - round(f / fs) * fs)

for f, fs in ((180, 200), (1170, 1000), (450, 1000)):
    print(f"{f:>5} Hz sampled at {fs:>4} Hz appears at {alias(f, fs):>3.0f} Hz")

diff = max(abs(math.sin(2 * math.pi * 180 * n / 200) + math.sin(2 * math.pi * 20 * n / 200)) for n in range(200))
print("180 Hz samples match an inverted 20 Hz wave:", diff < 1e-9)

LSB 0.806 mV, quantization noise 0.233 mV rms, ideal SNR 74.0 dB
  180 Hz sampled at  200 Hz appears at  20 Hz
 1170 Hz sampled at 1000 Hz appears at 170 Hz
  450 Hz sampled at 1000 Hz appears at 450 Hz
180 Hz samples match an inverted 20 Hz wave: True

แรงสั่น 180 Hz ที่สุ่ม 200 Hz ให้ค่าตัวอย่างเหมือนคลื่น 20 Hz ทุกจุด ซอฟต์แวร์แยกไม่ออกหลังสุ่มแล้ว จึงต้องกรองก่อนสุ่ม ส่วน 450 Hz ที่สุ่ม 1,000 Hz ไม่เกิด aliasing เพราะต่ำกว่าครึ่งหนึ่งของความถี่สุ่ม