ผลตอบสนองและเสถียรภาพ

ตัวอย่างที่ 1 จำลองเทียบกับสูตร

ระบบอันดับสองความถี่ธรรมชาติ 4 rad/s จำลองด้วยขั้นเวลา 1 ms

import math

W0, DT, T_END = 4.0, 0.001, 6.0

def simulate(zeta):
    y = v = 0.0
    out = []
    for _ in range(int(T_END / DT)):
        a = W0 ** 2 * (1 - y) - 2 * zeta * W0 * v
        v += a * DT
        y += v * DT
        out.append(y)
    return out

for zeta in (0.3, 0.5, 0.707, 1.0):
    ys = simulate(zeta)
    over = max(ys) - 1
    formula = math.exp(-math.pi * zeta / math.sqrt(1 - zeta ** 2)) if zeta < 1 else 0.0
    ts = next(i * DT for i in range(len(ys)) if all(abs(v - 1) <= 0.02 for v in ys[i:]))
    print(f"zeta {zeta:<5}: overshoot {max(over, 0):6.1%} (formula {formula:5.1%}), "
          f"settling {ts:.2f} s (4/(zeta*w0) = {4 / (zeta * W0):.2f} s)")

zeta 0.3  : overshoot  37.2% (formula 37.2%), settling 2.81 s (4/(zeta*w0) = 3.33 s)
zeta 0.5  : overshoot  16.3% (formula 16.3%), settling 2.02 s (4/(zeta*w0) = 2.00 s)
zeta 0.707: overshoot   4.3% (formula  4.3%), settling 1.49 s (4/(zeta*w0) = 1.41 s)
zeta 1.0  : overshoot   0.0% (formula  0.0%), settling 1.46 s (4/(zeta*w0) = 1.00 s)

overshoot จากการจำลองตรงกับสูตร ส่วนเวลาเข้าที่จากสูตรเป็นค่าประมาณ ใกล้เคียงที่ $\zeta$ ราว 0.5–0.7 แต่คลาดชัดที่ $\zeta =0.3$ และ 1.0 งานโดรนมักต้องการ $\zeta$ ราว 0.6–0.8 คือเกินเล็กน้อยแต่เร็ว

ตัวอย่างที่ 2 เวลาหน่วงในลูปอัตราหมุน

แบบจำลองอย่างง่ายของลูปอัตราหมุน $L(s)=K{e}^{-s{\tau }_d}/s$ ที่ $K=20$ rad/s ความถี่ตัดข้ามเท่ากับ $K$ phase margin เท่ากับ $90°-K{\tau }_d$ (เป็นองศา)

import math

K, DT = 20.0, 0.0005

def run(delay):
    n = int(round(delay / DT))
    buf = [0.0] * n
    y, out = 0.0, []
    for _ in range(int(3 / DT)):
        seen = buf[0] if n else y
        y += DT * K * (1 - seen)
        if n:
            buf = buf[1:] + [y]
        out.append(y)
    return out

print(f"critical delay (phase margin 0) = {math.pi / (2 * K) * 1000:.1f} ms")
for delay in (0.0, 0.02, 0.05, 0.075, 0.09):
    ys = run(delay)
    pm = 90 - K * delay * 180 / math.pi
    tail = max(abs(1 - v) for v in ys[-1000:])
    print(f"delay {delay * 1000:>4.0f} ms: phase margin {pm:5.1f} deg, peak {max(ys):6.2f}, "
          f"error in last 0.5 s {tail:.3f}")

critical delay (phase margin 0) = 78.5 ms
delay    0 ms: phase margin  90.0 deg, peak   1.00, error in last 0.5 s 0.000
delay   20 ms: phase margin  67.1 deg, peak   1.00, error in last 0.5 s 0.000
delay   50 ms: phase margin  32.7 deg, peak   1.50, error in last 0.5 s 0.000
delay   75 ms: phase margin   4.1 deg, peak   2.00, error in last 0.5 s 0.319
delay   90 ms: phase margin -13.1 deg, peak  25.51, error in last 0.5 s 24.513

เวลาหน่วงเพียง 50 ms ทำให้ระบบที่ไม่เกินเป้าเลยเกินไปถึงครึ่งหนึ่ง เมื่อใกล้ 78.5 ms ระบบแกว่งไม่ยอมนิ่ง และเกินค่านั้นระบบแกว่งโตไม่หยุด นี่คือเหตุผลที่ตัวกรองไจโรที่หน่วงมากเกินไปทำให้โดรนสั่น แม้ค่า PID ไม่เปลี่ยน