การวิเคราะห์ความแข็งแรงเบื้องต้น

ทำไมต้องรู้

แขนโดรนรับแรงขับของมอเตอร์ที่ปลาย ถ้าแขนอ่อนเกินจะโก่งและสั่น ถ้ารับแรงไม่ไหวจะหักกลางอากาศ การคำนวณเบื้องต้นก่อนพิมพ์ช่วยตัดแบบที่ไม่รอดตั้งแต่ต้น และบอกว่าควรเพิ่มความหนาตรงไหน หน่วยความรู้เรื่องออกแบบและรวมระบบ และปฏิบัติการ L04 ของคลังความรู้โดรนใช้แขนโดรนเป็นโจทย์เดียวกัน

คานยื่น

แขนที่ยึดด้านหนึ่งกับตัวลำและรับแรงที่ปลายคือ คานยื่น (cantilever) สูตรมาตรฐานในตำรากลศาสตร์วัสดุ (Hibbeler, 2023) ให้การโก่งที่ปลาย $\delta =F{L}^3/(3EI)$ และความเค้นดัดสูงสุดที่โคน $\sigma =FLc/I$ โดย $E$ คือมอดุลัสของวัสดุ $I$ คือ โมเมนต์ความเฉื่อย ของหน้าตัด และ $c$ คือระยะจากแกนกลางถึงผิว

สูตรบอกสิ่งสำคัญสองอย่าง การโก่งแปรตาม $L^3$ แขนยาวขึ้นสองเท่าโก่งแปดเท่า และหน้าตัดสี่เหลี่ยม $I=b{h}^3/12$ ความสูง $h$ ในทิศที่รับแรงมีผลมากกว่าความกว้างมาก การวางหน้าตัดเดิมให้ตั้งขึ้นจึงแข็งขึ้นหลายเท่าโดยไม่เพิ่มมวล

ความไม่เท่ากันทุกทิศของชิ้นพิมพ์

ชิ้นพิมพ์ FDM สร้างทีละชั้น การยึดระหว่างชั้นอ่อนกว่าเนื้อในชั้น datasheet ของ Prusament PLA ระบุว่าชิ้นทดสอบที่พิมพ์มี yield strength ราว 51 MPa และมอดุลัส 2.3 GPa แต่ แรงยึดระหว่างชั้น (interlayer adhesion) เพียงราว 17 MPa งานของ Ahn และคณะ (2002) กับ ABS พบว่าทิศของเส้นพิมพ์ในชั้นเปลี่ยนความแข็งแรงดึงได้มาก และแนะนำให้วางชิ้นให้แรงดึงอยู่ตามแนวเส้นพิมพ์

E, F, L = 2300.0, 10.0, 150.0                 # MPa, N, mm
STRENGTH_ALONG, STRENGTH_ACROSS = 51.0, 17.0  # MPa ตาม datasheet Prusament PLA

for b, h in ((20, 10), (10, 20), (15, 15)):
    inertia = b * h ** 3 / 12
    deflection = F * L ** 3 / (3 * E * inertia)
    stress = F * L * (h / 2) / inertia
    print(f"section {b}x{h} mm (h in load direction): deflection {deflection:5.2f} mm, stress {stress:4.1f} MPa, "
          f"SF along layers {STRENGTH_ALONG / stress:5.1f}, across layers {STRENGTH_ACROSS / stress:4.1f}")

section 20x10 mm (h in load direction): deflection  2.93 mm, stress  4.5 MPa, SF along layers  11.3, across layers  3.8
section 10x20 mm (h in load direction): deflection  0.73 mm, stress  2.2 MPa, SF along layers  22.7, across layers  7.6
section 15x15 mm (h in load direction): deflection  1.16 mm, stress  2.7 MPa, SF along layers  19.1, across layers  6.4

เพิ่มความหนาได้อะไร

E, F, L, B, RHO = 2300.0, 10.0, 60.0, 20.0, 1.24e-3     # MPa, N, mm, mm, g/mm³

for t in (3, 4, 5, 6, 8):
    inertia = B * t ** 3 / 12
    deflection = F * L ** 3 / (3 * E * inertia)
    mass = B * t * L * RHO
    print(f"t = {t} mm: deflection {deflection:6.3f} mm, mass {mass:5.2f} g")

t = 3 mm: deflection  6.957 mm, mass  4.46 g
t = 4 mm: deflection  2.935 mm, mass  5.95 g
t = 5 mm: deflection  1.503 mm, mass  7.44 g
t = 6 mm: deflection  0.870 mm, mass  8.93 g
t = 8 mm: deflection  0.367 mm, mass 11.90 g

FEM อย่างรู้ข้อจำกัด

รูปทรงจริงซับซ้อนกว่าคานตรง จึงใช้ FEM (finite element method) เช่น FEM workbench ของ FreeCAD ซึ่งใช้ solver CalculiX เป็นค่าเริ่มต้น แต่ผลดีเท่ากับข้อมูลที่ใส่ ต้องกำหนดวัสดุ แรง และจุดยึดให้ตรงความจริง ปรับ mesh ให้ละเอียดขึ้นจนผลไม่เปลี่ยนมาก และเทียบกับสูตรคานในกรณีง่ายก่อน FEM มาตรฐานส่วนใหญ่ถือว่าวัสดุเท่ากันทุกทิศ จึงไม่เห็นจุดอ่อนระหว่างชั้นของชิ้นพิมพ์

ปฏิบัติการประจำโมดูล

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

สรุป

• คานยื่น $\delta =F{L}^3/(3EI)$ และ $\sigma =FLc/I$ การโก่งไวต่อความยาวและความสูงของหน้าตัดมาก
• วางด้านสูงของหน้าตัดในทิศแรงได้ความแข็งมากขึ้นโดยไม่เพิ่มมวล
• ชิ้นพิมพ์ FDM อ่อนที่รอยต่อระหว่างชั้น (PLA ราว 17 MPa เทียบ 51 MPa)
• FEM ต้องกำหนดเงื่อนไขให้ถูก ตรวจ mesh และเทียบกับสูตรในกรณีง่าย

แบบฝึกตรวจความเข้าใจ

1. แขนยาวขึ้นจาก 100 เป็น 200 mm การโก่งเปลี่ยนกี่เท่า
2. หน้าตัด 10×20 mm วางให้ด้าน 20 mm อยู่ในทิศแรง มี I เท่าใด
3. ความเค้น 5 MPa ในชิ้นที่ความแข็งแรง 17 MPa มีส่วนปลอดภัยเท่าใด
4. ทำไมจึงควรใช้ค่าความแข็งแรงของชิ้นพิมพ์แทนค่าของเส้นพลาสติก
5. ท่อกลมนอก 12 mm ใน 10 mm มี I เท่าใด